一、辅助角公式完整推导（以 $a\sin\alpha + b\cos\alpha$ 为例）#

1. 构造统一系数：提取 $\sqrt{a^2 + b^2}$，将式子变形为

   $$\sqrt{a^2 + b^2} \left( \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} \sin\alpha + \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \cos\alpha \right)$$

2. 定义辅助角 $\varphi$：令

   $$\cos\varphi = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}, \quad \sin\varphi = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$

   满足 $\sin^2\varphi + \cos^2\varphi = 1$（符合三角函数平方关系）。

3. 利用和角公式：根据

   $$\sin(\alpha + \varphi) = \sin\alpha \cos\varphi + \cos\alpha \sin\varphi$$

   代入上式可得

   $$a\sin\alpha + b\cos\alpha = \sqrt{a^2 + b^2} \sin(\alpha + \varphi)$$

4. 辅助角 $\varphi$ 的确定：由

   $$\tan\varphi = \frac{\sin\varphi}{\cos\varphi} = \frac{b}{a}$$

   结合 $\cos\varphi$、$\sin\varphi$ 的符号确定 $\varphi$ 所在象限。

二、3 组练习例题（含详细解答）#